Számtani sorozat
0; 2; 4; 6; 8; 10; ..., a páros természetes számok sorozata. Számsorozatban mindig szabály szerint követik egymást az elemek. Ennek a sorozatnak az a szabálya, hogy az aktuális elemhez 2-t adva kapjuk a következő elemét a sorozatnak.
(Más szabályokkal is képezhetünk sorozatokat - például szorzással -, ezekről majd később.)
Az olyan sorozatokat, amelyben a szomszédos elemek különbsége állandó, számtani sorozatnak nevezzük. Ezt a különbséget differenciának nevezzü, s d-vel jelöljük.
A példa sorozatban d=2. Vannak még más jelölések is: az első elem jele: a1; a második elem jele a2; s így tovább; akárhanyadik (n-edik) elem jele an.
A példában a1 = 0; a2 = 2; a3 = 4; a4 = 6; s így tovább.
Az n-edik elem kiszámolására pedig képletet kell találni. Az 1. elemből úgy kapjuk a 2. elemet, hogy hozzáadunk 2-t. Az 1. elemből úgy kapjuk a 3. elemet, hogy hozzáadunk 2*2-t. Az 1. elemből úgy kajuk a 4. elemet, hogy hozzáadunk 3*2-t. És így tovább: az 1. elemből úgy kapjuk az akárhanyadikat, hogy hozzáadunk eggyel kevesebb differenciát:
an = 0 + (n-1)*2
Rendezés után:
an = 2n - 2
Ennek a képletnek a segítségével, például, az 500. elem kiszámítása:
a500 = 2*500 - 2 = 998.
Általánosítva: számtani sorozat n-edik elemét igy számíthatjuk:
an = a1 + (n-1)*d
Mennyi az előbbi példában az első 500 elem összege?
A sorozat elejét és végét szemügyre véve a következőt látjuk:
a1 + a500 = 998
a2 + a499 = 998
a3 + a498 = 998
S így tovább, olyan párokba rendezhetők a sorozat elemei, melyek összege mindig az első és az utolsó elem összegével egyenlő.
S hány ilyen párunk van? 500/2 darab. Így az első 500 elem összege: 998*250.
Általánosítva: számtani sorozat első n darab elemének összegét (melyet Sn-nel jelölünk) így számíthatjuk:
Sn = (a1 + an)*n/2
Példa
Egy ovális alakú teniszcsarnokban a lelátón 17 sorban ülnek a nézők. A legfelső sorban 300 ülőhely van, és minden további sorban 13 hellyel kevesebb van, mint a felette lévőben. Teltház esetén hány szurkoló van a nézőtéren?
a1 = 300
d = -13
n = 17
Sn = ?
--------
A összeg kiszámításához szükségünk van a 17. elemre:
a17 = 300 + 16*(-13)
a17 = 92
S17 = (300 + 92)*17/2
S17 = 3332
Tehát összesen 3332 néző fér el a stadionban.
(Más szabályokkal is képezhetünk sorozatokat - például szorzással -, ezekről majd később.)
Az olyan sorozatokat, amelyben a szomszédos elemek különbsége állandó, számtani sorozatnak nevezzük. Ezt a különbséget differenciának nevezzü, s d-vel jelöljük.
A példa sorozatban d=2. Vannak még más jelölések is: az első elem jele: a1; a második elem jele a2; s így tovább; akárhanyadik (n-edik) elem jele an.
A példában a1 = 0; a2 = 2; a3 = 4; a4 = 6; s így tovább.
Az n-edik elem kiszámolására pedig képletet kell találni. Az 1. elemből úgy kapjuk a 2. elemet, hogy hozzáadunk 2-t. Az 1. elemből úgy kapjuk a 3. elemet, hogy hozzáadunk 2*2-t. Az 1. elemből úgy kajuk a 4. elemet, hogy hozzáadunk 3*2-t. És így tovább: az 1. elemből úgy kapjuk az akárhanyadikat, hogy hozzáadunk eggyel kevesebb differenciát:
an = 0 + (n-1)*2
Rendezés után:
an = 2n - 2
Ennek a képletnek a segítségével, például, az 500. elem kiszámítása:
a500 = 2*500 - 2 = 998.
Általánosítva: számtani sorozat n-edik elemét igy számíthatjuk:
an = a1 + (n-1)*d
Mennyi az előbbi példában az első 500 elem összege?
A sorozat elejét és végét szemügyre véve a következőt látjuk:
a1 + a500 = 998
a2 + a499 = 998
a3 + a498 = 998
S így tovább, olyan párokba rendezhetők a sorozat elemei, melyek összege mindig az első és az utolsó elem összegével egyenlő.
S hány ilyen párunk van? 500/2 darab. Így az első 500 elem összege: 998*250.
Általánosítva: számtani sorozat első n darab elemének összegét (melyet Sn-nel jelölünk) így számíthatjuk:
Sn = (a1 + an)*n/2
Példa
Egy ovális alakú teniszcsarnokban a lelátón 17 sorban ülnek a nézők. A legfelső sorban 300 ülőhely van, és minden további sorban 13 hellyel kevesebb van, mint a felette lévőben. Teltház esetén hány szurkoló van a nézőtéren?
a1 = 300
d = -13
n = 17
Sn = ?
--------
A összeg kiszámításához szükségünk van a 17. elemre:
a17 = 300 + 16*(-13)
a17 = 92
S17 = (300 + 92)*17/2
S17 = 3332
Tehát összesen 3332 néző fér el a stadionban.
Mértani sorozat:
a1 a sorozat első tagja, q a hányadosa
a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a1 és q segítségével:
an = a1·qn-1
az első n tag összege:
a sorozat bármelyik tagjának négyzete megegyezik szomszédainak szorzatával:
